卷二 測圓海鏡
卷三
卷四 

邊股一十七問

編輯

或問:乙出東門南行不知步數而立,甲出西門南行四百八十步望見乙,複就乙行五百一十步與乙相會。問答同前。法曰:倍相減步,以乘二之甲南行步為平方實,得城徑。

草曰:識別得二行相減餘三十步,即乙出東門南行步也,倍相減步得六十步,以乘二之甲南行步九百六十步,得五萬七千六百步為平方實。如法開之,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行四百八十步而止,乙從艮隅東行八十步望見甲。問答同前。

法曰:倍南行步,以東行步乘之為實,東行步為從方,一步常法。得全徑。

草曰:立天元一為圓徑,以減於二之甲南行步,得為兩個大差也。以乙東行步乘之,得為圓徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。以平方開之,得二百四十步即城徑也。合問。

又法:半之乙東行步乘南行步為實,半乙東行步為從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,減甲南行步,得為大差也。以半之東行步乘之,得即半徑冪(寄左)。然後以天元冪為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行四百八十步而止,乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲。問答同前。法曰:兩行步相乘為實,南行步為從方,一為隅。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,以減乙南行步,得為半梯頭;以甲行步為梯底,以乘之,得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行四百八十步,乙出東門直行一十六步望見甲。問答同前。

法曰:以四之東行步乘南行冪為實,從空,東行為廉,一步為隅法。得全徑。

草曰:立天元一為圓徑,加乙東行步,得為中勾,其甲南行即中股也。置東行步為小勾,以中股乘之,得太,合以中勾除。今不受除,便以為小股也(內寄中勾分母)。乃複以中股乘之,得三百六十八萬六千四百,又四之,得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪(寄中勾分母。寄左)。然後以天元徑自之,又以中勾乘之,得為同數,與左相消得。以立方開之,得二百四十步為城徑也。合問。

或問:乙出南門東行七十二步而止,甲出西門南行四百八十步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:以乙東行冪乘甲南行為實,乙東行冪為從方,甲南行步內減二之東行步為益廉,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,以減南行步,得為小股;又以天元加乙東行,得為小勾。又以天元加南行步,得為大股。乃置大股在地,以小勾乘之,得下式,合以小股除之。今不受除,便以為大勾(內寄小股分母)。又置天元半徑,以分母小股乘之,得,以減大勾,得為半個梯底於上。以乙東行七十二步為半個梯頭,以乘上位,得為半徑冪(內寄小股分母。寄左)。然後置天元冪,又以分母小股乘之,得為同數,與寄左相消得。以立方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法曰:以雲數相乘為實,相減為從,一虛法,平開得半徑。

草曰:別得二數相並為大股內少一虛勾,其二數相減為大差弦也。立天元一為半徑,副置之。上位減於四百八十,得為股圓差(即大差股也)。下位加七十二,得為大差勾。勾股相乘得下式為一段大差積(寄左)。再以大差勾減於大差股,餘為較,又加入大差弦四百單八,共得為弦較共也。以天元乘之,得 為同數,與左相消得。以平方開之得一百二十步,即半徑。合問。

前法太煩,故又立此法以就簡也。

或問:乙出南門東行不知步數而立,甲出西門南行四百八十步望見乙,與城參相直。又就乙行四百○八步與乙相會。問答同前。

法曰:二行步相減以乘甲南行步為實,甲南行步內減相減步為益方,一步常法。得半徑。

草曰:識別得二行相減餘七十二步,即是乙出南門東行數也,更不須用弦。遂立天元一為半城徑,加乙東行,得為小勾也。副置南行步,上減天元,得 為小股;下加天元,得為大股。乃置大股以小勾乘之,得下式,合以小股除之。今不受除,便以此為大勾也(內帶小股分母)。又倍天元,以小股乘之得下式 ,以減於大勾,得為勾圓差也。合以股圓差乘之,緣此勾圓差內已帶小股分母(小股即股圓差也),更不須乘,便以此為半段黃方冪(更無分母也。寄左)。乃以天元自之,又倍之為同數,與左相消得。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門直行不知步數而止,甲出西門南行四百八十步望見乙,複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。

法曰:半南行步減半斜行步,以乘南行冪為實,從方空,半斜行半南行相減,得數加入南行步為隅法。得半徑。

草曰:識別得二行相減餘六十四步,即半徑為股之勾也。立天元為半徑,就以為小股,其二行相減餘六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元,得下式為大股,以小勾乘之得,又以小股除之得為大勾。又倍天元一減之,得下式為勾圓差也,半之得於上。乃以天元減甲南行步,得為股圓差,以乘上位得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得下式。以平方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法:以二數差乘二數並,開方得邊勾,複以邊股乘之為實,並二數而半之為法,實如法得二百四十步,即城徑(此蓋用前勾上容圓法也)。

或問:乙從乾地東行,不知幾步而止,甲出西門南行四百八十步望見乙,複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰:並二行數以二行差乘之,內減二行差冪為實,並二行步及二行差為從方,二步常法。得半徑。

草曰:識別得二行相減餘二百步,即半圓徑與小差共數也。立天元一為半城徑,加於二百步得為大勾也。又以天元加於甲南行四百八十步,得即大股也。乃以大勾自之,得為勾冪(寄左)。乃置甲斜行六百八十步為大弦,加入大股,共得於上。再置二行差內減天元,得為小差,以乘上位,得為同數,與左相消得。以平方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法:求小差:二行相減以自之,又四之為實;二行相減,八之於上,二之南行步內減二之二行相減數,又以加上位為益方;二步常法。

草曰:立天元一為小差,減二行差得為半城徑,以自之得,又四之得為圓徑冪(寄左)。然後以半城徑減於甲南行,得,又倍之得為兩個大差也,又以天元乘之得為同數,與左相消得下式。以平方開之,得八十步為小差也。

或問:乙出南門不知步數而立,甲出西門南行四百八十步,望乙與城參相直,複就乙斜行二百五十五步與乙相會。問答同前。

法曰:甲南行內減二之兩行差,餘以乘甲南行,又倍之為實,二步為隅。得半徑。

草曰:別得二行步相減,餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也。立天元一為半城徑,就以為小勾率,其二行差二百二十五步即為小股率。乃置甲南行步加入天元,得為大股,以天元小勾乘之,得,合以小股除。今不受除,便以此為大勾(內寄小股為母)。乃倍天元,以小股乘之得元,以減大勾,餘為一個小差於上(內寄小股分母)。乃以天元減甲南行步,得為大差也,以乘上位得,又倍之得為圓徑冪(內寄小股分母。寄左)。然後倍天元以自之,又以小股乘之,得 為同數,與左相消得。以平方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出南門直行一百三十五步而止,甲出西門南行四百八十步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:二行步相減餘以自乘,內減乙行冪為實,二之甲南行為益從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一以為半徑,便以為勾率;又以天元加乙行步,並以減於甲行步,得為股率。乃置乙南行步一百三十五步為小股,以勾率乘之得元,合以股率除之。今不受除,乃便以此為小勾(內寄股率分母)。又置乙南行步,加二天元,得為大股,以勾率乘之得,合以股率除之。今不受除,便以此為大勾(內寄股率分母)。以小勾大勾相乘,得為半徑冪(內帶股率冪為分母。寄左)。然後置天元以自乘,又以股率冪乘之,得為同數,與左相消得。以平方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:甲乙二人同出西門向南行,至西南十字道口分路。乙折東行一百九十二步而立,甲又南行,甲通行四百八十步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:兩行相乘得數,又以乙東行乘之為實,二行相乘於上位,又置乙東行以二行相減數乘之,得數加上位為法。

草曰:立天元一為半城徑,副之。上位加甲行步,得為大股也;下位減於甲行步,得為小股也;其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之,得(內寄小股 為母)。便以為大勾也。置天元以母通之,得,減於大勾,得為半個矮梯底於上,再置乙東行內減天元,得下式為半個矮梯頭,以乘上位得下式為半徑冪(寄左)。再置天元以自之為冪,又以分母乘之,得為如積,與左相消得。上法下實,得一百二十步,即城之半徑也。合問。

又法:二行步相乘為實,倍甲南行內減乙東行為法。

草曰:立天元一為半城徑,副之。上位加甲南行,得為大股;下位減甲行步,得為小股,便是股圓差也。其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之,得,內寄小股為母,便以為大勾也。再置天元以二之,又以分母乘之,得為全徑。以減於大勾,餘為勾圓差也。合以股圓差乘之,緣內已有小股分母,不須更乘,便以此為兩段之半徑冪也,更無分母(寄左)。然後置天元冪以二之,得為如積,以左相消得。上法下實,得一百二十步即半城徑也。合問。

或問:見邊股四百八十步,叀弦三十四步。問答同前。

法曰:叀弦乘邊股,半之為實,半叀弦半邊股相並為從,半步隅法。開平方,得叀股

草曰:立天元一為叀股,加叀弦得,為平勾也。又以天元減邊股而半之,得為高股也。平勾高股相乘,得為半徑冪(寄左)。然後以天元乘邊股為同數,與左相消得下式。開平方得叀股三十步,以乘邊股,開平方倍之即圓徑也。合問。

或問:見邊股四百八十,明弦一百五十齲粒保問答同前。

法曰:二雲數相減複倍之,內減邊股,複以邊股乘之於上;又以明弦冪乘上位為實,以邊股乘明弦冪又二之為從;二雲數相減餘以自之為第一廉,二雲數相減又倍之為第二益廉,一常法。開三乘方,得明勾

草曰:立天元一為明勾,加明弦得為高股也。以高股減邊股,餘為高弦,以倍之得為黃廣弦也。內卻減邊股,得為叀股,複以邊股乘之,得於上。又以明弦自乘,得二萬三千四百○九為分母,以乘上位得為帶分半徑冪(寄左)。然後置黃廣弦,以天元乘之,得。複合以明弦除之,不除,寄為母,便以此為全徑。又半之,得為半徑,以自之得為同數,與左相消得下式。開三乘方得七十二步,即明勾也。餘各依法入之。合問。

又法:邊股內減二明弦,複以邊股乘之,複以明弦冪乘之為三乘方實。廉從並與前同。

草曰:識別得二數相減餘為高股虛弦共,又為高弦明勾共。此餘數內又去半徑即明和也。明和明弦相並即股圓差,相減則明黃方也。又倍明弦加明黃亦得股圓差也。邊股內減明勾餘即大差弦也。立天元一為明勾,減於雲數相減數,得即高弦也。以高弦減邊股得即高股也,以高股減於雲數相減數,得即虛弦也。以天元又減虛弦,得即叀股也。乃置高弦,以天元乘之,得,合明弦除。不受除,便以此為高勾也(即半徑)。高勾自之,得為半徑冪(內帶明弦冪分母。寄左)。然後置邊股以叀股乘之,得為半徑冪;又以明弦冪二萬三千四百○九分母通之,得為同數,與左相消得實、從、廉、隅五層,一如前式。

或問:邊股四百八十步,高弦二百五十五步。問答同前。法曰:以邊股減於二之高弦,複以邊股乘之。開平方,得半徑。

草曰:立天元一為半徑。先倍高弦,內減邊股餘,複以邊股乘之,得(寄左)。以天元冪與左相消,得。開平方得數,倍之即城徑也。合問。

或問:邊股四百八十步,平弦一百三十六步。問答同前。

法曰:置平弦以邊股再乘之為實,以邊股自之為益從,平弦為益廉,一虛隅。開立方,得半徑。

草曰:別得平弦即皇極勾也。立天元一為半徑,副之。上位加平弦,得即邊勾也;下位減於平弦,得即叀勾也。置叀勾以邊股乘之,得,合邊勾除。今不受除,寄為母,便以此為叀股。乃以此邊股乘之,得為半徑冪(內帶邊勾分母。寄左)。然後以天元為冪,以分母邊勾乘之,得為同數,與左相消得 。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:邊股四百八十步,明股明弦和二百八十八步。問答同前。

法曰:以二雲數相減餘加邊股,複以減餘乘之,訖。又折半於上,又以減餘自之,減上位為實,並雲數半之為法。得明勾

草曰:別得二數相減餘為大差勾。立天元一為明勾,減於大差勾,得即半徑也。又以天元減半徑,得為虛勾於上;又以半徑加邊股,得為通股於下。上下相乘,得。折半得為半徑冪(寄左)。然後以半徑冪為同數,與左相消得。上法下實,得七十二步,即明勾也。合問。

或問:見邊股四百八十步,叀勾叀弦和五十步。問答同前。

法曰:半邊股、半和步相並得為汛率。以汛率減邊股,以自之,又二之於上,以和步乘汛率減上位為實,以汛率減邊股六之於上,內又加半個邊股、三個和步為益從,三步常法。得叀股

草曰:別得和步得叀股即小差也,小差邊股共即二中差。立天元一為叀股,加和步得即小差也。以小差加邊股而半之,得即中差也。中小差相並得 即大差也。以小差乘之,得為半段徑冪(寄左)。然後置邊股內減大差得為半徑,以自之,得,又倍之得下式。與左相消得下式。開平方,得三十步即叀股也。合問。

法曰:和步乘邊股,又以和步乘之為實;倍邊股加和步,又以和步乘之為從;邊股內減二之和步為益廉,一常法。開立方,得叀股

草曰:別得邊勾邊弦和內減和步即黃廣勾弦和也。邊股得叀股即黃廣弦也。黃廣勾即圓徑。叀弦上三事和即小差。立天元一為叀股。以和步乘邊股得 ,以叀股除之得為邊勾邊弦和也。以和步減之,餘得下式為黃廣勾弦和也。以天元加邊股得下式為黃廣弦,以減於黃廣勾弦和,餘得下式為圓徑。倍邊股得下太,內減圓徑得下式為兩個大差於上。又以和步加天元,得下式為小差,以乘上位得為徑冪(寄左)。然後以天元乘邊股,又四之得為同數,與左相消得。開立方得三十步,即叀股也。合問。

 卷二 ↑返回頂部 卷四