卷一 測圓海鏡
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正率一十四問

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假令有圓城一所,不知周徑。四面開門,門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地,其東北十字道頭定為艮地,其東南十字道頭定為巽地,其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法,一一設問如後。

或問:甲乙二人俱在乾地,乙東行三百二十步而立,甲南行六百步望見乙。問徑幾里。答曰:城徑二百四十步。

法曰:此為勾股容圓也。以勾股相乘,倍之為實。並勾股冪以求弦,複加入勾股共以為法。

草曰:置甲南行六百步在地。以乙東行三百二十步乘之,得一十九萬二千步,倍之得三十八萬四千步為實。以乙東行步自之,得一十萬零二千四百步為勾冪;以甲南行步自之,得三十六萬步為股冪;二冪相並,得四十六萬二千四百步為弦方實。以平方開之,得六百八十步則弦也。以弦加勾股共,共得一千六百步以為法。如法而一,得二百四十步則城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在西門,乙東行二百五十六步,甲南行四百八十步望見乙。問答同前。

法曰:此為勾上容圓也。以勾股相乘,倍之為實。並勾股冪以求弦,加入股以為法。

草曰:置甲南行四百八十步在地,以乙東行二百五十六步乘之,得一十二萬二千八百八十步,倍之得二十四萬五千七百六十步為實。以乙東行步自之,得六萬五千五百三十六步為勾冪;以甲南行步自之,得二十三萬零四百步為股冪;勾股冪相並,得二十九萬五千九百三十六步為弦方實。以平方開之,得五百四十四步為弦也。以加入甲南行步,共得一千零二十四步以為法。如法而一,得二百四十步則城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在北門,乙東行二百步而止,甲南行三百七十五步望見乙。問答如前。

法曰:此為股上容圓也。以勾股相乘,倍之為實。以勾股冪求弦,加入勾以為法。

草曰:置甲南行三百七十五步,以乙東行二百步乘之,得七萬五千步,倍之得一十五萬步為實。以乙東行自之,得四萬步為勾冪;以甲南行自之,得一十四萬 零六百二十五步為股冪;勾、股冪相並,得一十八萬零六百二十五步為弦方實。如平方而一,得四百二十五步則弦也。加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法,以法除之,得二百四十步則城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在圓城中心而立,乙穿城向東行一百三十六步而止,甲穿城南行二百五十五步望見乙。問答同前。

法曰:此為勾股上容圓也。以勾股相乘,倍之為實。並勾股冪,如法求弦以為法。

草曰:以二行步相乘得三萬四千六百八十步,倍之得六萬九千三百六十步為實。置乙東行自之,得一萬八千四百九十六步為勾冪;又以甲南行自之,得六萬五千零二十五步為股冪;二冪相並,得八萬三千五百二十一步為弦方實。以平方開之,得二百八十九步即弦也,便以為法。如法除實,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人同立於乾地,乙東行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步,回望其塔正居城徑之半。問答同前。

法曰:此為弦上容圓也。以勾股相乘,倍之為實,以勾股和為法。

草曰:以二行步相乘得六萬四千八百步,倍之得一十二萬九千六百步為實。並二行步,得五百四十步以為法。以法除實,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在坤地,乙東行一百九十二步而止,甲南行三百六十步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:此為勾外容圓也。以勾股相乘,倍之為實,以弦較共為法。

草曰:以二行步相乘,得六萬九千一百二十步,倍之得一十三萬八千二百四十步為實。置乙東行自之,得三萬六千八百六十四步為勾冪;又置南行自之,得一十二萬九千六百步為股冪;二冪相並,得一十六萬六千四百六十四步為弦方實。以平方開之,得四百零八步即弦也。又置甲南行步,內減乙東行步,餘一百六十八步即較也。以較加弦,共得五百七十六步以為法。實如法而一,得二百四十步為城徑也。合問。

或問:甲乙二人同立於艮地,甲南行一百五十步而止,乙東行八十步,望甲與城參相直。問答同前。

法曰:此為股外容圓也。以勾股相乘,倍之為實,以弦較較為法。

草曰:二行步相乘得一萬二千,倍之得二萬四千步為實。以甲南行自之,得二萬二千五百步為股冪;又以乙東行步自之,得六千四百步為勾冪;勾股冪相並,得二萬八千九百步為弦方實。以平方開之,得一百七十步即弦也。以二行步相減,餘七十步為勾股較也。以此較又減弦,餘一百步即弦較較也,便以為法。實如法而一,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人同立於巽地,乙西行四十八步而止,甲北行九十步,望乙與城參相直。問答同前。法曰:此為弦外容圓也。勾股相乘,倍之為實,以弦和較為法。

草曰:以二行步相乘,得四千三百二十步,倍之得八千六百四十步為實。以甲北行自之,得八千一百步為股冪;又以乙西行自之,得二千三百零四步為勾冪;二冪共得一萬零四百零四步為弦方實。以平方開之,得一百零二步為弦也。又並二行步得一百三十八步為和,以弦減和餘三十六步,得黃方以為法。實如法而一,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在南門,乙東行七十二步而止,甲南行一百三十五步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:此為勾外容圓半也。以勾股相乘,倍之為實,以大差為法。

草曰:以二行步相乘,得九千七百二十步,倍之得一萬九千四百四十步為實。又以乙東行自之,得五千一百八十四步為勾冪;又以甲南行自之,得一萬八千二百二十五步為股冪;二冪相並,得二萬三千四百零九步為弦方實。以平方開之,得一百五十三步即弦也。以乙東行七十二步為勾,以減弦,餘八十一步即勾弦差也,便以為法。實如法而一,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在東門,甲南行三十步而止,乙東行一十六步,回望甲與城參相直。問答同前。

法曰:此為股外容圓半也。以勾股相乘,倍之為實,以小差為法。

草曰:以二行步相乘,得四百八十步,倍之得九百六十步為實。又以乙東行自之,得二百五十六步為勾冪;又以甲南行自之,得九百步為股冪;二冪相並,得一千一百五十六步為弦方實。以平方開之,得三十四步即弦也。以甲南行三十步為股,以減弦,餘四步以為法。以法除實,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行四百八十步而止,乙出東門南行三十步望見甲。問答同前。

法曰:此為半矮梯也。以二行步相乘為實,如平方而一,得半徑。

草曰:以二行步相乘,得一萬四千四百步為實。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又問:甲乙二人。乙出南門折而東行七十二步而止,甲出北門折而東行二百步望見乙。問答同前。法曰:以二行步相乘,得數四之為實。如平方而一,得城徑。

草曰:二行步相乘得一萬四千四百步,又四之,得五萬七千六百步為實。以平方開之,得二百四十步即城徑也。合問。

又假令:乙出南門折東行二十步,甲出北門折東行七百二十步。如此之類,亦同上法(以上三問俱是以半矮梯求之)。

或問:甲乙二人。乙在艮地東行八十步而立,甲在坤地南行三百六十步望見乙。問答同前。

法曰:此為兩差求黃方也。以二行步相乘,倍之為實,以平方開之得城徑。

草曰:二行步相乘得二萬八千八百步,倍之得五萬七千六百步為實。以平方開之,得二百四十步即城徑也。合問。別得甲南行即股圓差也,乙東行即勾圓差也。

或問:甲出東門四十八步而立,乙出南門四十八步見之。問答同前。法曰:此當以方五斜七求之,每出門二步,管徑十步。

草曰:置出門步在地,以五之,得二百四十步即城徑也。據此法,合置出門步在地,以十之,二而一。以二數相折,故五因便是。合問。

或問:出西門南行四百八十步有樹,出北門東行二百步見之。問答同前。

法曰:以二行步相乘為實,二行步相並為從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,置南行步在地,內減天元半徑,得為股圓差。又置乙東行步在地,內減天元,得下式為勾圓差。以勾圓差增乘股圓差,得為半段黃方冪,即城冪之半也(寄左)。又置天元冪以倍之,得,亦為半段黃方冪,與左相消得。如法開之,得半徑。合問。

又法:識別得二行並即大弦也,立天元一為半徑。置甲南行步加天元一,得為大股。又置乙東行步加天元,得為大勾也。勾股相乘,得為一個大直積。以天元除之,得下式,為三事和也(寄左。黃方除倍積得三事和。今以半黃方除直積,亦為三事和也)。然後並二行步,又並入勾股共,得為同數,與左相消得 。以平方開之,得一百二十步,倍之得全徑也。合問。

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