卷四 测圆海镜
卷五
卷六 

○大股一十八问

或问:乙出南门直行一百三十五步而立,甲从干隅南行六百步,望乙与城参相直。问答同前。

法曰:倍二行差内减甲南行步,复以乘甲南行步为实(倍二行差减甲南行步,即是甲南行步内减二之乙南行也);四之甲南行步内减二之乙南行为从方;四益隅。开平方得半径。

草曰:立天元一为半径,以二之加乙南行步,得为中股,以中股又减于甲南行步,得为股率,其天元半径即勾率也。置甲南行为大股,以勾率乘之,得 元,合以股率除之,不受除,便以此为大勾(内带股率分母)。再置天元以二之,以股率乘之,得。减于大勾,馀为勾圆差于上(内有股率分母)。又以二之天元减甲南行,得为大差,以乘上位,得为半段黄方幂(内寄股率分母。寄左)。然后以天元自之,又以股率乘之,又倍之得为同数,与左相消得下式。开平方得一百二十步,倍之即城径也。合问。

或问:乙出南门东行七十二步而止,甲从干隅南行六百步,望乙与城参相直。问答同前。法曰:云数相乘为平实,甲南行为从,二益隅。得半径。

草曰:别得虚勾乘通股得半段圆径幂,此与虚股乘通勾同。立天元一为半径,内减乙东行得为虚勾,以乘甲南行得为半段径幂(寄左)。再以天元为幂,又倍之为同数,与左相消得。开平方得一百二十步,倍之即城径也。合问。

或问:乙出东门直行一十六步,甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。

法曰:以乙东行乘甲南行幂为实,二之乙东行乘甲南行为从方,廉空,二步隅法。得半径。

草曰:立天元一为半城径,以二之加于乙东行,得为勾率;又以天元减甲南行,得为股率。乃置乙东行以股率乘之,得,合以勾率除。不除便以此为小股,此小股即半梯之头也(内带勾率分母)。又以股率乘之(此股率即半梯之底也),乘讫得为半径幂(内带勾率分母。寄左)。然后置天元幂以勾率通之,得 为同数,与左相消得。开立方得一百二十步,倍之即城径也。合问。

或问:乙出东门南行三十步而立,甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰:二行步相乘为实,以乙南行为从,一步常法。得半径。

草曰:立天元一为半径,以减于甲南行得为半梯底,以乙南行三十步为半梯头,以乘之得为半径幂(寄左)。乃以天元幂与左相消,得。开平方得一百二十步,即半城径也。合问。

或问:乙从艮隅南行一百五十步而立,甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰:二行步相乘为实,并二行步为法。得半径。

草曰:立天元一为半径,副置之。上以减于乙南行,得为半梯头,下以减于甲南行得为半梯底。上、下相乘得为半径幂(寄左)。乃以天元幂与左相消,得下式。上法下实,如法而一,得一百二十步,倍之即城径也。合问。

或问:乙从艮隅东行八十步而立,甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。

法曰:二行步相乘又倍之为实,二之乙东行为从,一步常法。得全径。

草曰:别得乙东行八十步即小差也。立天元一为城径,减于甲南行步,得为大差,以乙东行步乘之得,又倍之得为城径幂(寄左)。然后以天元幂与左相消,得。开平方得二百四十步,即城径也。合问。

或问:南门东不知远近有树。甲从干隅南行六百步,望树与城参相直,复就树斜行四百八步至树。问答同前。

法曰:两段南行步幂内减两段两行相乘数为实,二之南行步为从,一步益隅。

草曰:别得南行步内减城径即小股也,其斜行步即小弦也。又二行相减即大差为股之勾也。乃立天元一为圆径,以减南行步,得为股圆差也(合为小股)。置南行步以斜行步乘之,得太,合以小股除之。不受除,便以此为大弦(内带小股分母)。再置南行步以小股乘之,得为大股(亦带小股分母)。以大股减大弦,得为小差也。合以大差乘之,缘于内带大差分母,更不须乘,便以为半段黄方幂(更无分母)。又二之得为一段黄方幂(寄左)。然后以天元幂为同数,与左相消得。开平方得二百四十步,即城径也。合问。

依前问:假令乙出南门东行不知步数而止,甲从干南行六百步望乙与城相直,复就乙斜行四百八步。

法曰:二行差幂乘甲南行为实,二之二行差以乘南行步为益方,二之二行差为隅。得半径。

草曰:识别得二行相减即半城径与乙东行共也。得此数更不须用斜。立天元为半径,减于二行差一百九十二,得即半梯头也。又以二天元减甲南行步,得 为股率,又以一百九十二为勾率。乃置甲南行以勾率乘之,得,合股率除,不除便以此为大勾(内寄股率分母)。再置天元以股率乘之,得,以减于大勾得 为半梯底也。头底相乘得下为半城径幂也(内寄股率分母。寄左)。然后以股率乘天元幂为同数,与左相消得。开平方得一百二十步,即半城径也。合问。

或问:东门南不知远近有树,甲从干隅南行六百步见树,复向树斜行五百一十步至树。问答同前。

法曰:二之差步乘二之甲南行为实,并二之差步二之甲行步为从,二益隅(若欲从简,上下俱折半)。

草曰:别得二行相减数即虚积之股也。立天元一为圆径,内减二之差步,得为梯头于上,又以天元减于二之甲行步,得为梯底。上、下相乘,得为圆径幂(寄左)。然后以天元幂与左相消,得。开平方得二百四十步,即城径也。合问。

或问:乙出东门直行不知步数而立,甲从干隅南行六百步望见乙,复就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。

法曰:以二行步相减乘甲南行步,得数,又半之南行步以乘之为实;以二行差乘南行步于上,又以半之南行步乘南行步加于上为从方;二之南行步为益廉,一步常法。得半径。

草曰:别得二行相减即平积上勾股较(此股即半径也)。又别得是大勾圆差不及平弦数立天元一以为半城径,以减南行步,得为中股,其斜行步即中弦也。乃立半城径以斜行步乘之,得元,合以中股除。今不受除,便以此为平弦(内带中股分母)。又以二行步相减,馀五十六步,为勾圆差不及平弦数。置此数以中股乘之得,复以减平弦,馀得为小差(内带中股分母)。乃以二天元减甲南行步为大差,又半之得,以乘小差得为半径幂(寄左)。然后以天元自乘,又以中股通之,得为同数,与左相消得。开立方得一百二十步,倍之即城径也。合问(翻法在记)。

或问:甲乙二人俱在干隅,乙东行不知步数而立,甲南行六百步望见乙,复就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。

法曰:以二行差乘二行并,开平方,得数内复减二行差,得全径。

草曰:别得二行相减即勾圆差也。先求大勾。立天元一为大勾。以二行相减馀八十步,以乘二行相并数一千二百八十步,得太为勾幂,开平方得三百二十步即大勾也。大勾内减去勾圆差,馀二百四十步即城径也。合问。

或问:南门外不知远近有树,甲从干隅南行六百步,望树与城参相直,复就树斜行二百五十五步至树。问答同前。

法曰:倍二行相减数内减甲南行,得数复以乘甲南行为实,倍二行相减数为从,二步益隅。得半径。

草曰:识别得斜行步乃是树至城心之数也。立天元一为半径,加斜行步得为树至城北门之步也。乃以减于甲南行,得为小股率,其天元半径即小勾率,其斜步即小弦数也。再置甲南行步内减天元得为梯底于上,又置梯底内减二之小股率,得即梯头也。复以乘上位得为半径幂(寄左)。然后以天元幂与左相消,得下式。开平方得一百二十步,倍之即城径也。合问。

或问:东门外不知步数有槐树一株,甲从干隅南行至柳树下,望见槐树,复斜行至槐树下。甲自云我共行了一千一百四十四步。乙从艮隅东行望见槐树与城相直,复斜行至槐树下。乙自云我东行步不及斜行五十六步。问答同前。

法曰:甲斜行减于甲南行以乘甲南行,得数复以乘二之甲南行为实;半之甲南行以乘二之甲南行于上,甲斜行减于甲南行,馀复以乘甲南行,又倍之加上位为从方;二之甲南行为益廉,五分隅法。

草曰:识别得五十六步是小差不及平弦数(此小差即勾圆差也)。又为平弦上勾股差,又为甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地,其上位加五十六步而半之,得六百步即大股也。其下位减五十六步而半之,得五百四十四步即今弦也。立天元一为圆径,以半之减于甲南行步,得为中股,其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之,得元,合以中股除之,今不受除,便以此为平弦(内寄中股分母)。又置勾圆差不及平弦数以中股乘之,得,复以减于平弦,得为小差(内带中股分母)。又以天元减甲南行,倍之得为两个大差,以乘小差得为圆径幂(寄左)。然后以中股乘天元幂,得下式为同数,与左相消得。开立方得二百四十步,即城径也。合问(翻法在记)。

或问:出东门向南行不知步数有柳树一株,甲从干隅南行六百步望见柳树而止。乙出东门直行不知步数望见柳树与甲相直,却斜行三十四步至柳树下。问答同前。

法曰:斜行乘甲南行数,以乘甲行幂为实;斜行乘甲南行幂,又三之为从方;甲行幂内减两段斜行、南行相乘数为第一廉,二之南行步为第二益廉,二步常法。得半径。

草曰:立天元一为半径,以二之减甲南行得为大差,以自之得为大差幂,加于南行幂,得,又半之得为大弦也,内带大差分母,别寄。又置乙斜行以大股六百乘之,得,合大弦除,不除便以此为小股也(内带大弦分母)。乃以天元减甲南行,得即半梯底也,以乘小股半梯头得为半径幂于上,此半径幂内有大弦分母。缘别寄大弦分母元带大差分母,故又用大差分母乘上半径幂,得为带分半径幂也。所带之分,谓只带大弦分母也(寄左)。然后以大弦乘天元幂,得为同数,与左相消得。开三乘方得一百二十步,即半城径也。合问。

又法:置甲行幂于上,又置甲行幂半之以乘上位为实;以斜行乘甲行幂,倍之于上位,又以甲行再自乘加上位为益方;置甲行幂于上,以斜行乘甲南行,倍之,以减上位为第一廉;甲南行步为第二益廉,半步常法。得股圆差。

草曰:立天元一为股圆差(即大差),以自之为幂,以加甲南行幂得。半之,又以天元除之得为大弦,其甲南行即大股也。别置乙斜行三十四步以大股乘之,得太,合大弦除,不除便以为小股(内寄大弦分母)。乃以天元加甲南行步,得为全梯底也。以乘小股半梯头,得,又倍之得为城径幂(内寄大弦为母。寄左)。乃置天元大差减甲南行,馀为圆径,以自之得,又以大弦分母乘之得为同数,与左相消得下式。开三乘方得三百六十步,即股圆差也。以股圆差减甲南行馀二百四十步,即城径也。合问。

或问:甲从干隅南行六百步而止,丙从南门直行,乙出南门东行,各不知步数而立。甲望乙、丙悉与城参相直,既而乙就丙斜行一百五十三步相会。问答同前。

法曰:以甲南行步再自之于上,以斜行步乘甲南行幂,又倍之,减上位为立方实;南行步自之又四之于上,以斜步乘甲南行,又倍之,减上位为益从;六之甲行步为从廉,四步虚常法。得半径。

草曰:立天元一为半径,以二之减于甲南行,得为大差也,以自之得为大差幂也,乃置甲南行幂内加大差幂而半之,得为大弦也(内带大差分母)。又置甲南行幂内减大差幂而半之,得为大勾也(亦带大差分母)。乃置斜行步在地,以大勾乘之得,合以大弦除,不除便以此为小勾,内带大弦为母(其大勾内元有大差分母,不用),即半梯头也(寄上位)。再置天元半径以大差乘之,得,以减于大勾得元为半梯底也。以乘上位得为半径幂也(内带大差及大弦为母。寄左)。然后置天元幂以大差通之,又以大弦通之,得为同数,与左相消得。开立方得一百二十步,即半城径也。合问。

依前问:假令南门外有树,乙出南门东行不知步数而立(只云乙东行步少于树去城步)。甲从干隅向南行六百步望树与乙,悉与城参相直,乙就树斜行一百五十三步至树下。问答同前。

法曰:以斜行步乘甲行幂为立方实,以甲行幂半之于上,以斜行步乘甲行步减上位为益从,廉无入,五分虚隅。得大勾、大弦差。

草曰:别得斜步即小弦,小弦得小和即勾弦差也。立天元一为股圆差,以自之为幂,副之,上以加甲南行幂而半之,得为大弦也(寄大差分母)。下以减于甲南行幂而半之,得下式为大勾也(寄大差分母)。乃置斜步以大勾乘之得下,合大弦除,不除便以此为小勾(寄大弦分母),又置斜步以甲南行乘之得 太,合以大弦除为小股,不除而又以同母分通之,得为同分小股也(只寄大弦分母。注:大股乘时,无大差分母,故今通之,以齐大勾上所有大差分母也)。又置斜步以大弦通之,得为通分小弦也。三位相并得为股圆差也(寄左)。然后置天元大差以大弦分母通之,得为同数,与左相消得。开立方得三百六十步,即股圆差也。以股圆差减于甲南行步即城径也。合问。

或问:东门外不知步数有树,甲从干南行六百步而止,乙出北门东行,斜望树及甲与城参相直,却就树斜行一百三十六步。问答同前。

法曰:二行步相乘于上,又半甲南行乘之为实;二行相乘于上,又半甲南行以乘甲南行,加上位为益从;甲南行为从廉,一步益隅。开立方得半径。

草曰:立天元一为半径,便以为小股,其斜行步即小弦也。乃以甲南行为大股,以小弦乘之,复以天元除之,得即大弦也。又倍天元减甲南行,馀为大差,以减大弦,馀为大勾也。又倍天元以减勾,得为小差也。却以半大差乘之,得为半径幂(寄左)。乃以天元幂相消,得下式。开立方得一百二十步,即半径也。合问。

或问:南门外不知步数有槐树一株,东门外不知步数有柳树一株,槐柳二树相去二百八十九步。有人从干南行六百步而止,斜望槐、柳与城参相直。问答同前。

法曰:云数相乘,得又自增乘为三乘方实;斜步幂乘南行步,又二之为益从;二云数相乘又倍之为益廉,二之斜步为第二从廉,二步常法。得槐至城心步。

草曰:别得槐树至城心步即人所止至槐树步也。乃立天元一为槐树至城心步(即人至槐处)。加于斜步得为边弦也,以天元乘之得,合斜步除,不除便以此为边股(寄斜步分母)。又以斜步乘南行步得为大股,以边股减之,馀为半城径(寄斜步分母)。以自之得为半径幂(内带斜步幂为母。寄左)。又以天元减斜步得为叀弦,以天元乘之得,合斜步除,不除寄为母,便以此为半梯头。以边股半梯底乘之,得为同数,与左相消得。开三乘方得二百五十五步,即槐树至城心之步也,亦为皇极正股。又自之,得数以减斜幂,馀如平方而一得城心至柳树步,又为皇极正勾也。勾股相乘倍之为实,如斜步而一,即城径也。合问。

或问:甲从干南行六百步而立,乙出南门直行,丙出东门直行,三人相望俱与城相直,而乙、丙共行了一百五十一步。问答同前。

法曰:甲南行为幂,折半又以自之为实,倍共步加甲南行以乘半段甲行幂为从方,甲行乘共数为从廉,一个半甲南行为第二益廉,二分五厘为三乘方隅。

草曰:识别得共步加城径即皇极和也,又是半径为勾之弦与半径为股之弦相和步也。二之此数内减去大弦即皇极勾股内黄方面也,亦为太虚弦。乃立天元一为大差,以自之,副置二位。上位减于甲南行幂,以天元除之,又折半得为大勾也。下位加甲南行幂以天元除之,又折半得为大弦也。其甲南行即大股也。并大勾、大股得下式即大和也。再立天元减甲南行,得即圆径也,加共步得即皇极和,又是半径为勾之弦及半径为股之弦共数也。又倍之得,即全径为勾之弦及全径为股之弦共数也。内减大弦得即小和内黄方面也。乃置大和以小黄方面乘之,得。合以小和除之,不除便以此为大黄方也(内寄小和为母。寄左)。然后以天元减甲南行得为大黄方,以小和为同数,与左相消得。开三乘方得三百六十步,即股圆差也。以股圆差减于甲南行馀二百四十步,即城径也。合问。

或问:丙出南门东行,乙出东门南行,各不知步数而立。甲从干隅南行六百步,斜望乙、丙悉与城参相直,乙就丙斜行一百二步相会。问答同前。

法曰:以斜步乘甲南行幂,又倍之为实;倍甲行幂于上,又以斜步乘二之甲南行加于上为从方;四之甲南行为益廉,四步常法。开立方得半径。

草曰:别得斜步为小弦也,以斜步减圆径馀为小和也。乃立天元为半径,以二之减于甲南行,得为大差也,以自之得为大差幂也。置甲南行幂为大弦也(内带大差为分母)。又置甲南行幂内减大差幂而半之,得为大勾也(带大差分母)。又以大差乘股六百步得,并入大勾得为大和也(带大差分母)。乃先以小弦乘大和得下式(寄左)。又以小和乘大弦得为同数,与左相消得下。开立方得一百二十步,即半径也。合问。

依前问:假令乙出东门南行,丙出南门东行,各不知步数而立(只云丙行步多于乙行步)。甲从干隅南行六百步,望乙、丙与城参相直,乙复斜行就丙,行了一百二步与丙相会。问答同前。

法曰:以斜步乘甲行幂,又倍之为立方实,甲行幂内加斜行、南行相乘数为从方,甲南行为益廉,半步为隅。得全径。

草曰:别得相就步即小弦也,小弦得小和为直径也。立天元一为城径,以减于甲南行步得为大差,以自之得为大差幂也。置甲南行步以自之为幂,副之,上以加大差幂而半之得为大弦也(内寄大差分母)。下以减大差幂而半之得为大勾也(内寄大差分母)。乃置相就步在地,以大勾乘之得,合大弦除,不除寄为母,便以此为小勾也,寄大弦母。又置斜步(即相就步也)。以甲南行乘之得,合以大弦除之,不除寄为母,便以此为小股,而又以元分母大差乘之得为同分小股也,只寄大弦分母(其大勾内元有大差分母,其大股内却无分母,故今乘过,复以大差通之,齐分母也)。又置斜行步以大弦通之,得为小弦也。上三位相并得为城径也(内寄大弦分母。寄左)。然后置天元以大弦通之,得为同数,与左相消,得。开立方得二百四十步,即城径也。合问。

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