卷四 測圓海鏡
卷五
卷六 

○大股一十八問

或問:乙出南門直行一百三十五步而立,甲從乾隅南行六百步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:倍二行差內減甲南行步,複以乘甲南行步為實(倍二行差減甲南行步,即是甲南行步內減二之乙南行也);四之甲南行步內減二之乙南行為從方;四益隅。開平方得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以二之加乙南行步,得為中股,以中股又減於甲南行步,得為股率,其天元半徑即勾率也。置甲南行為大股,以勾率乘之,得 元,合以股率除之,不受除,便以此為大勾(內帶股率分母)。再置天元以二之,以股率乘之,得。減於大勾,餘為勾圓差於上(內有股率分母)。又以二之天元減甲南行,得為大差,以乘上位,得為半段黃方冪(內寄股率分母。寄左)。然後以天元自之,又以股率乘之,又倍之得為同數,與左相消得下式。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出南門東行七十二步而止,甲從乾隅南行六百步,望乙與城參相直。問答同前。法曰:雲數相乘為平實,甲南行為從,二益隅。得半徑。

草曰:別得虛勾乘通股得半段圓徑冪,此與虛股乘通勾同。立天元一為半徑,內減乙東行得為虛勾,以乘甲南行得為半段徑冪(寄左)。再以天元為冪,又倍之為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門直行一十六步,甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。

法曰:以乙東行乘甲南行冪為實,二之乙東行乘甲南行為從方,廉空,二步隅法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,以二之加於乙東行,得為勾率;又以天元減甲南行,得為股率。乃置乙東行以股率乘之,得,合以勾率除。不除便以此為小股,此小股即半梯之頭也(內帶勾率分母)。又以股率乘之(此股率即半梯之底也),乘訖得為半徑冪(內帶勾率分母。寄左)。然後置天元冪以勾率通之,得 為同數,與左相消得。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門南行三十步而立,甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰:二行步相乘為實,以乙南行為從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以減於甲南行得為半梯底,以乙南行三十步為半梯頭,以乘之得為半徑冪(寄左)。乃以天元冪與左相消,得。開平方得一百二十步,即半城徑也。合問。

或問:乙從艮隅南行一百五十步而立,甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰:二行步相乘為實,並二行步為法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,副置之。上以減於乙南行,得為半梯頭,下以減於甲南行得為半梯底。上、下相乘得為半徑冪(寄左)。乃以天元冪與左相消,得下式。上法下實,如法而一,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙從艮隅東行八十步而立,甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。

法曰:二行步相乘又倍之為實,二之乙東行為從,一步常法。得全徑。

草曰:別得乙東行八十步即小差也。立天元一為城徑,減於甲南行步,得為大差,以乙東行步乘之得,又倍之得為城徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:南門東不知遠近有樹。甲從乾隅南行六百步,望樹與城參相直,複就樹斜行四百八步至樹。問答同前。

法曰:兩段南行步冪內減兩段兩行相乘數為實,二之南行步為從,一步益隅。

草曰:別得南行步內減城徑即小股也,其斜行步即小弦也。又二行相減即大差為股之勾也。乃立天元一為圓徑,以減南行步,得為股圓差也(合為小股)。置南行步以斜行步乘之,得太,合以小股除之。不受除,便以此為大弦(內帶小股分母)。再置南行步以小股乘之,得為大股(亦帶小股分母)。以大股減大弦,得為小差也。合以大差乘之,緣於內帶大差分母,更不須乘,便以為半段黃方冪(更無分母)。又二之得為一段黃方冪(寄左)。然後以天元冪為同數,與左相消得。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

依前問:假令乙出南門東行不知步數而止,甲從乾南行六百步望乙與城相直,複就乙斜行四百八步。

法曰:二行差冪乘甲南行為實,二之二行差以乘南行步為益方,二之二行差為隅。得半徑。

草曰:識別得二行相減即半城徑與乙東行共也。得此數更不須用斜。立天元為半徑,減於二行差一百九十二,得即半梯頭也。又以二天元減甲南行步,得 為股率,又以一百九十二為勾率。乃置甲南行以勾率乘之,得,合股率除,不除便以此為大勾(內寄股率分母)。再置天元以股率乘之,得,以減於大勾得 為半梯底也。頭底相乘得下為半城徑冪也(內寄股率分母。寄左)。然後以股率乘天元冪為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,即半城徑也。合問。

或問:東門南不知遠近有樹,甲從乾隅南行六百步見樹,複向樹斜行五百一十步至樹。問答同前。

法曰:二之差步乘二之甲南行為實,並二之差步二之甲行步為從,二益隅(若欲從簡,上下俱折半)。

草曰:別得二行相減數即虛積之股也。立天元一為圓徑,內減二之差步,得為梯頭於上,又以天元減於二之甲行步,得為梯底。上、下相乘,得為圓徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:乙出東門直行不知步數而立,甲從乾隅南行六百步望見乙,複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。

法曰:以二行步相減乘甲南行步,得數,又半之南行步以乘之為實;以二行差乘南行步於上,又以半之南行步乘南行步加於上為從方;二之南行步為益廉,一步常法。得半徑。

草曰:別得二行相減即平積上勾股較(此股即半徑也)。又別得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑,以減南行步,得為中股,其斜行步即中弦也。乃立半城徑以斜行步乘之,得元,合以中股除。今不受除,便以此為平弦(內帶中股分母)。又以二行步相減,餘五十六步,為勾圓差不及平弦數。置此數以中股乘之得,複以減平弦,餘得為小差(內帶中股分母)。乃以二天元減甲南行步為大差,又半之得,以乘小差得為半徑冪(寄左)。然後以天元自乘,又以中股通之,得為同數,與左相消得。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問(翻法在記)。

或問:甲乙二人俱在乾隅,乙東行不知步數而立,甲南行六百步望見乙,複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰:以二行差乘二行並,開平方,得數內複減二行差,得全徑。

草曰:別得二行相減即勾圓差也。先求大勾。立天元一為大勾。以二行相減餘八十步,以乘二行相並數一千二百八十步,得太為勾冪,開平方得三百二十步即大勾也。大勾內減去勾圓差,餘二百四十步即城徑也。合問。

或問:南門外不知遠近有樹,甲從乾隅南行六百步,望樹與城參相直,複就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。

法曰:倍二行相減數內減甲南行,得數複以乘甲南行為實,倍二行相減數為從,二步益隅。得半徑。

草曰:識別得斜行步乃是樹至城心之數也。立天元一為半徑,加斜行步得為樹至城北門之步也。乃以減於甲南行,得為小股率,其天元半徑即小勾率,其斜步即小弦數也。再置甲南行步內減天元得為梯底於上,又置梯底內減二之小股率,得即梯頭也。複以乘上位得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得下式。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:東門外不知步數有槐樹一株,甲從乾隅南行至柳樹下,望見槐樹,複斜行至槐樹下。甲自雲我共行了一千一百四十四步。乙從艮隅東行望見槐樹與城相直,複斜行至槐樹下。乙自雲我東行步不及斜行五十六步。問答同前。

法曰:甲斜行減於甲南行以乘甲南行,得數複以乘二之甲南行為實;半之甲南行以乘二之甲南行於上,甲斜行減於甲南行,餘複以乘甲南行,又倍之加上位為從方;二之甲南行為益廉,五分隅法。

草曰:識別得五十六步是小差不及平弦數(此小差即勾圓差也)。又為平弦上勾股差,又為甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地,其上位加五十六步而半之,得六百步即大股也。其下位減五十六步而半之,得五百四十四步即今弦也。立天元一為圓徑,以半之減於甲南行步,得為中股,其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之,得元,合以中股除之,今不受除,便以此為平弦(內寄中股分母)。又置勾圓差不及平弦數以中股乘之,得,複以減於平弦,得為小差(內帶中股分母)。又以天元減甲南行,倍之得為兩個大差,以乘小差得為圓徑冪(寄左)。然後以中股乘天元冪,得下式為同數,與左相消得。開立方得二百四十步,即城徑也。合問(翻法在記)。

或問:出東門向南行不知步數有柳樹一株,甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止。乙出東門直行不知步數望見柳樹與甲相直,卻斜行三十四步至柳樹下。問答同前。

法曰:斜行乘甲南行數,以乘甲行冪為實;斜行乘甲南行冪,又三之為從方;甲行冪內減兩段斜行、南行相乘數為第一廉,二之南行步為第二益廉,二步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以二之減甲南行得為大差,以自之得為大差冪,加於南行冪,得,又半之得為大弦也,內帶大差分母,別寄。又置乙斜行以大股六百乘之,得,合大弦除,不除便以此為小股也(內帶大弦分母)。乃以天元減甲南行,得即半梯底也,以乘小股半梯頭得為半徑冪於上,此半徑冪內有大弦分母。緣別寄大弦分母元帶大差分母,故又用大差分母乘上半徑冪,得為帶分半徑冪也。所帶之分,謂隻帶大弦分母也(寄左)。然後以大弦乘天元冪,得為同數,與左相消得。開三乘方得一百二十步,即半城徑也。合問。

又法:置甲行冪於上,又置甲行冪半之以乘上位為實;以斜行乘甲行冪,倍之於上位,又以甲行再自乘加上位為益方;置甲行冪於上,以斜行乘甲南行,倍之,以減上位為第一廉;甲南行步為第二益廉,半步常法。得股圓差。

草曰:立天元一為股圓差(即大差),以自之為冪,以加甲南行冪得。半之,又以天元除之得為大弦,其甲南行即大股也。別置乙斜行三十四步以大股乘之,得太,合大弦除,不除便以為小股(內寄大弦分母)。乃以天元加甲南行步,得為全梯底也。以乘小股半梯頭,得,又倍之得為城徑冪(內寄大弦為母。寄左)。乃置天元大差減甲南行,餘為圓徑,以自之得,又以大弦分母乘之得為同數,與左相消得下式。開三乘方得三百六十步,即股圓差也。以股圓差減甲南行餘二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲從乾隅南行六百步而止,丙從南門直行,乙出南門東行,各不知步數而立。甲望乙、丙悉與城參相直,既而乙就丙斜行一百五十三步相會。問答同前。

法曰:以甲南行步再自之於上,以斜行步乘甲南行冪,又倍之,減上位為立方實;南行步自之又四之於上,以斜步乘甲南行,又倍之,減上位為益從;六之甲行步為從廉,四步虛常法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以二之減於甲南行,得為大差也,以自之得為大差冪也,乃置甲南行冪內加大差冪而半之,得為大弦也(內帶大差分母)。又置甲南行冪內減大差冪而半之,得為大勾也(亦帶大差分母)。乃置斜行步在地,以大勾乘之得,合以大弦除,不除便以此為小勾,內帶大弦為母(其大勾內元有大差分母,不用),即半梯頭也(寄上位)。再置天元半徑以大差乘之,得,以減於大勾得元為半梯底也。以乘上位得為半徑冪也(內帶大差及大弦為母。寄左)。然後置天元冪以大差通之,又以大弦通之,得為同數,與左相消得。開立方得一百二十步,即半城徑也。合問。

依前問:假令南門外有樹,乙出南門東行不知步數而立(隻雲乙東行步少於樹去城步)。甲從乾隅向南行六百步望樹與乙,悉與城參相直,乙就樹斜行一百五十三步至樹下。問答同前。

法曰:以斜行步乘甲行冪為立方實,以甲行冪半之於上,以斜行步乘甲行步減上位為益從,廉無入,五分虛隅。得大勾、大弦差。

草曰:別得斜步即小弦,小弦得小和即勾弦差也。立天元一為股圓差,以自之為冪,副之,上以加甲南行冪而半之,得為大弦也(寄大差分母)。下以減於甲南行冪而半之,得下式為大勾也(寄大差分母)。乃置斜步以大勾乘之得下,合大弦除,不除便以此為小勾(寄大弦分母),又置斜步以甲南行乘之得 太,合以大弦除為小股,不除而又以同母分通之,得為同分小股也(隻寄大弦分母。注:大股乘時,無大差分母,故今通之,以齊大勾上所有大差分母也)。又置斜步以大弦通之,得為通分小弦也。三位相並得為股圓差也(寄左)。然後置天元大差以大弦分母通之,得為同數,與左相消得。開立方得三百六十步,即股圓差也。以股圓差減於甲南行步即城徑也。合問。

或問:東門外不知步數有樹,甲從乾南行六百步而止,乙出北門東行,斜望樹及甲與城參相直,卻就樹斜行一百三十六步。問答同前。

法曰:二行步相乘於上,又半甲南行乘之為實;二行相乘於上,又半甲南行以乘甲南行,加上位為益從;甲南行為從廉,一步益隅。開立方得半徑。

草曰:立天元一為半徑,便以為小股,其斜行步即小弦也。乃以甲南行為大股,以小弦乘之,複以天元除之,得即大弦也。又倍天元減甲南行,餘為大差,以減大弦,餘為大勾也。又倍天元以減勾,得為小差也。卻以半大差乘之,得為半徑冪(寄左)。乃以天元冪相消,得下式。開立方得一百二十步,即半徑也。合問。

或問:南門外不知步數有槐樹一株,東門外不知步數有柳樹一株,槐柳二樹相去二百八十九步。有人從乾南行六百步而止,斜望槐、柳與城參相直。問答同前。

法曰:雲數相乘,得又自增乘為三乘方實;斜步冪乘南行步,又二之為益從;二雲數相乘又倍之為益廉,二之斜步為第二從廉,二步常法。得槐至城心步。

草曰:別得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也。乃立天元一為槐樹至城心步(即人至槐處)。加於斜步得為邊弦也,以天元乘之得,合斜步除,不除便以此為邊股(寄斜步分母)。又以斜步乘南行步得為大股,以邊股減之,餘為半城徑(寄斜步分母)。以自之得為半徑冪(內帶斜步冪為母。寄左)。又以天元減斜步得為叀弦,以天元乘之得,合斜步除,不除寄為母,便以此為半梯頭。以邊股半梯底乘之,得為同數,與左相消得。開三乘方得二百五十五步,即槐樹至城心之步也,亦為皇極正股。又自之,得數以減斜冪,餘如平方而一得城心至柳樹步,又為皇極正勾也。勾股相乘倍之為實,如斜步而一,即城徑也。合問。

或問:甲從乾南行六百步而立,乙出南門直行,丙出東門直行,三人相望俱與城相直,而乙、丙共行了一百五十一步。問答同前。

法曰:甲南行為冪,折半又以自之為實,倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方,甲行乘共數為從廉,一個半甲南行為第二益廉,二分五厘為三乘方隅。

草曰:識別得共步加城徑即皇極和也,又是半徑為勾之弦與半徑為股之弦相和步也。二之此數內減去大弦即皇極勾股內黃方麵也,亦為太虛弦。乃立天元一為大差,以自之,副置二位。上位減於甲南行冪,以天元除之,又折半得為大勾也。下位加甲南行冪以天元除之,又折半得為大弦也。其甲南行即大股也。並大勾、大股得下式即大和也。再立天元減甲南行,得即圓徑也,加共步得即皇極和,又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦共數也。又倍之得,即全徑為勾之弦及全徑為股之弦共數也。內減大弦得即小和內黃方麵也。乃置大和以小黃方麵乘之,得。合以小和除之,不除便以此為大黃方也(內寄小和為母。寄左)。然後以天元減甲南行得為大黃方,以小和為同數,與左相消得。開三乘方得三百六十步,即股圓差也。以股圓差減於甲南行餘二百四十步,即城徑也。合問。

或問:丙出南門東行,乙出東門南行,各不知步數而立。甲從乾隅南行六百步,斜望乙、丙悉與城參相直,乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。

法曰:以斜步乘甲南行冪,又倍之為實;倍甲行冪於上,又以斜步乘二之甲南行加於上為從方;四之甲南行為益廉,四步常法。開立方得半徑。

草曰:別得斜步為小弦也,以斜步減圓徑餘為小和也。乃立天元為半徑,以二之減於甲南行,得為大差也,以自之得為大差冪也。置甲南行冪為大弦也(內帶大差為分母)。又置甲南行冪內減大差冪而半之,得為大勾也(帶大差分母)。又以大差乘股六百步得,並入大勾得為大和也(帶大差分母)。乃先以小弦乘大和得下式(寄左)。又以小和乘大弦得為同數,與左相消得下。開立方得一百二十步,即半徑也。合問。

依前問:假令乙出東門南行,丙出南門東行,各不知步數而立(隻雲丙行步多於乙行步)。甲從乾隅南行六百步,望乙、丙與城參相直,乙複斜行就丙,行了一百二步與丙相會。問答同前。

法曰:以斜步乘甲行冪,又倍之為立方實,甲行冪內加斜行、南行相乘數為從方,甲南行為益廉,半步為隅。得全徑。

草曰:別得相就步即小弦也,小弦得小和為直徑也。立天元一為城徑,以減於甲南行步得為大差,以自之得為大差冪也。置甲南行步以自之為冪,副之,上以加大差冪而半之得為大弦也(內寄大差分母)。下以減大差冪而半之得為大勾也(內寄大差分母)。乃置相就步在地,以大勾乘之得,合大弦除,不除寄為母,便以此為小勾也,寄大弦母。又置斜步(即相就步也)。以甲南行乘之得,合以大弦除之,不除寄為母,便以此為小股,而又以元分母大差乘之得為同分小股也,隻寄大弦分母(其大勾內元有大差分母,其大股內卻無分母,故今乘過,複以大差通之,齊分母也)。又置斜行步以大弦通之,得為小弦也。上三位相並得為城徑也(內寄大弦分母。寄左)。然後置天元以大弦通之,得為同數,與左相消,得。開立方得二百四十步,即城徑也。合問。

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